Saturday 12 May 2018

Complex Manifold Deformation Theory​ ​ Conjecture A 1 Distance of Word 2008

Complex Manifold Deformation Theory
 
 
Conjecture A 
1 Distance of Word 
 
TANAKA Akio 
     
 
Conjecture 
Word has distance.
[Explanation]
1
Topological space     EB, F
Continuous map     
 : E
F
Homeomorphic with F     
-1 (b) , b
B     
Neighborhood of b     U
 B   
Homeomorphic with 
 F     
-1 (U)
Homeomorphic map     h : 
-1 (U
 F
Objection to primary component     p1 :  
 F   
 U   
h and p1 are fiber bundle in total 
space S, base space B, fiber F and projection 
.
2
Topological space     E
Family that consists of E's open sets     {
}a
A
What E is covered by {Ua}a
A is that the next is satisfied.
E = 
a
AUa
Open sets family { Ua}a
A is called open covering.
What covering is simply connected in space is called universal covering.
3 
Complex manifold     M
Point of M     Q
Normal tangent vector space     TQ(M)
m+n dimensional complex manifold     V
m dimensional complex manifold      W
Holomorphic map     
 : V
W
Map 
 that satisfies the next is called analytic family of compact complex manifolds.
(i) 
 is proper map.
(ii) 
 is smooth holomorphic map.
(iii) For arbitrary point of w
W, fiber 
-1 (w) is always connected.
When w0
W is fixed, Vww
W is called deformation of Vw0.
4
Complex manifold     S
Weight     w
Deformation of polar Z-Hodge structure     H = (HZF
)
Point     s
S
HZ = HZ (s0)
Fp = Fp(s0
 = 
 (s0) 
Polar Z-Hodge structure     (HZ, {Fp}, 
 )
Period domain that is canonical by (HZ, { Fp}, 
 )     D
compact relative of D     
Bilinear form over HZ, that is determined by
    Q
Monodromy expression of S's fundamental group 
 (Ss0)       
 : 
1 (Ss0
GZ = Aut(HZ, 
Q)
 = Im 
 =  
 ( 
1 (Ss0) )
 : S 
 \ D
  is called period map.
5
Compact manifold     M
Horizontal tangent bundle     Th
Regular map     
 : M 
 
Horizontal     d
 is map that is from TM to Th(
)
Locally liftable     
 | V : V 
 D 
 \ D
6
Subring of R      A
H = (HAF) that satisfies the next is called weight w's A-Hodge structure.
(i) HA is finite generative A module.
(ii) For arbitrary pq, there exists decomposition HC
p+q=wHp,q that satisfies Hp,q = Hp,q .   
Hp,q is complex conjugate for Hp,q .
7
A-Hodge's deformation over S      H = (HAF),  H' = (H'AF)    
Morphism of A module's local constant sheaf      fA: H
 H'A
fofA
AO :HO
H'O that is compatible with filter F is called sheaf from H to H'.
8
Deformation's morphism of Hodge structure     
 : H
 HA
A (-w)
s
S
Fiber 
A(s)
A,s
Weight     w
 that gives polar of w's A-Hodge structure at s is called polar of deformation of 
w's A-Hodge structure's deformation.
Hodge structure that is associated with polar is called polarized VHS.
9
Open disk D = { 
C | |z|<1 }, D* = D\{0}
Universal covering of D*     Upper half-plane of Poincaré      H
Covering map     H  
 exp(2
z
 D*
Polarized VHS on D     (H,S) 
Fundamental group     
1(D*) 
  Z
Generation element of the fundamental group     HC
Action as monodromy to HC     T
Period map adjoint with H     p : 
 D
p ( z + 1 ) = Tp(z)
10
O module of deformation of Hodge structure H     HO
D* = D\{0}
Period map     p : D
 \ D
Limit of p   limz
0p(z)
Universal covering     H
D
11
Period map     
Nilpotent orbit   
 (w) : = exp(wN) 
(0)
(Nilpotent orbit theorem)
(i) Nipotent orbit is horizontable map.
(ii) If Im w > 0 is enough large, 
(w
D.
(iii) If Im w > 0 is enough large, there exists non-negative constant B that satisfies dD(
(w), 
(w) )
(Imw)Be-2
Imw . 
     dD is invariant distance over D.
[Comment]
When word is expressed by open disk D, word has invariant distance in adequate 
condition(Im w > 0).
At that time, B is proper number of its word.
[Reference]
Distance Theory / Tokyo May 5, 2005 / Sekinan Linguistic Field
Tokyo November 30, 2008
Sekinan Research Field of language
[Reference 2 / December 9, 2008]
Mirror Theory Group / Tokyo December 9, 2008 / Sekinan Linguistic Field
 
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