Topological Group Language Theory Preliminary Note 3 Boundary of Words

Topological Group Language Theory 

TANAKA Akio 

     

​

 

Preliminary Note 3 

Boundary of Words​

​

​

[Theorem]​

1​

Distance space     (X, d)​

Gromov product (y|z)x​

2​

Hyperbolic space     X​

point sequence     {xiX}​

Set of all the {xiX}     S∞(X)​

Point sequence of X      {yi}    ​

When {yi} is limi→∞(xi|yi) = 0, {yi} is in S∞(X).​

​

​

[Explanation]​

1​

Hyperbolicity for general distance space is defined by Gromov product.​

Details are below.​

2​

Distance space is defied by the next.​

Distance space that has basic point x0       (X, d)​

Arbitrary 3 points of X       x, y, z​

When (X, d) satisfies the next, it is called δ-hyperbolic.​

(x|y)x0 min{(x|z)x0, (y|z)x0}-δ​

When distance space (X, d) is δ-hyperbolic for arbitrary base point, X is called δ-hyperbolic.​

Here for a certain , δ-hyperbolic space is abbreviatedly called hyperbolic.​

3​

The next condition is equivalent with what (X, d) is δ-hyperbolic.​

d(x, y) + d(z, w)  max{ d(x, z) + d(y, w), d(x, w) + d(y, z) } +2δ​

4​

Distance space       X​

Arc of X     α : [0, λ] → X​

Arbitrary s, t [0, λ]​

d(α(s), α(t)) = |s-t|​

Arc α is called geodesic segment.​

Geodesic segment from x to y that is x,yX is expressed by .​

When arbitrary 2 points of distance space (X, d) are combinable by geodesic segment, X is 

called geodesic space.xyz =  is called geodesic triangle.​

​

​

[Impression]​

1​

Word is identified with point sequence {xiX}.​

Language is identified with S∞(X).​

New generated word is identified Point sequence of X, {yi} that has condition limi→∞(xi|yi).​

The new generated word is also in language, that is to say, S∞(X).​

2​

From the condition limi→∞(xi|yi), spherical surface is considered as boundary at infinity by 

the comparison with Poincaré model.​

3​

Spherical surface is considered as the unit of language. ​

Language's distance and warp is also considered under hyperbolic space.​

References are below.​

​

​

[References]​

#1 Quantum Theorey for Language​

#2 Distance Theory​

#3 Warp Theory​

The upper papers and the related papers with the themes are seen at Sekinan Linguistuic 

Field.​

​

​

​

​

​

 

To be continued 

Tokyo February 12, 2009 

Sekinan Research Field of language