Friday, 6 March 2020

Floer Homology Language Note 8 Discreteness of Language. 2009​ ​

 
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Floer Homology Language 
TANAKA Akio 
     
 
Note 8 
 
Discreteness of Language
Flux Conjecture
(Lalonde-McDuff-Polterovich 1998)
Image of Flux homomorphism is discrete at H1(MR).
Lemma 1
Next two are equivalent.
(i) Flux conjecture is correct.
(ii) All the complete symplectic homeomorphism is C1 topological closed at symplectic 
transformation group.
Lemma 2
Next two are equivalent.
(1) Flux conjecture is correct.
(ii) Diagonal set M
M×M is stable by the next definition.
Definition
L is stable at the next condition.
(i) There exist differential 1 form u1, u2 over L that is sufficiently small.
(ii) When sup|u1|, sup|u2| is Lu1
Lu2 for u1, u2 ,there existsf that satisfies u1 - u2  = df .
Explanation
0 <For conjecture and lemmas>
  is de Rham cohomology class.
Symplectic manifold     (M, w)
Group's connected component of complete homeomorphism       Ham (M, w)
Flux isomorphism     Flux: π1(Ham(M, w) )→ R
Road of Ham (M, w)     γ(t)
δγ / δt = Xu(t) that is defined bu closed differential form Utover M
Explanation
1
Symplectic manifold     M
n-dimensional submanifold      
M
L that satisfies next condition is called special Lagrangian submanifold.
Ω's restriction to L is L's volume. 
2
M's special Lagrangian submanifold     L
Flat complex line bundle     L
LAGsp(M)     (L, L)
3
Complex manifold      M
M
Sheaf over M†     fp
fp (U) = C ( p
U)
fp (U) = 0 ( p 
U)
4
Special Lagrangian fiber bundle     π : M → N
Complementary dimension 2's submanifold     S(N
N
π-1 (p) = LP
Pair     (LpLp)
p
N-S(N)
Lp      Complex flat line bundle
All the pair (LpLp) s is M0 .
5
(Geometric mirror symmetry conjecture Strominger-Yau-Zaslow 1996)
Mirror of M is diffeomorphic with compactification of M0 .
6 
Pairs of Lagrangian submanifold of and flat U(1) over the submanifold     (L1, L1), (L2L2)
(L1, L1
 (L2L2) means the next.
There exists complete symplectic homeomorphism that is ψ(L2 ) = L2
and
ψ*L2 is isomorphic with L1.
Impression
Discreteness of language is possible by Flux conjecture 1998.
[References]
Quantization of Language / Floer Homology Language / Note 7 / June 24, 2009
For WITTGENSTEIN Ludwig / Position of Language / Tokyo December 10, 2005
To be continued
Tokyo July 19, 2009
Sekinan Research Field of Language

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