Floer Homology Language Note 6 Homology Structure of Word​. 2009

19/08/2015 22:30

Floer Homology Language 

TANAKA Akio 

     

​

 

Note 6 

 

Homology Structure of Word​

​

​

§ 1​

1​

Compact manifold in small diameter      M​

Inner product space     h (M)​

Map      h (M) k→  h (M)     ​

2​

A model and B model by Witten, E.​

A model     M as symplectic structure​

B model     M as complex structure  ​

3​

(A model)​

(Definition)​

H kA (M) = H k(M;C)​

​

H *A (M) = H kA (M) ​

Inner product <. , .>A     <u, v>A =      (  ; cup product)​

mA, 02(u, v) = ​

4​

(Theorem)​

( H *A (M), mA, 02, <. , .>A ) is Frobenius algebra.​

5​

Oriented  2-dimensional manifold with genus g     Σg​

6​

J (Σg) = {JΣg | Smooth complex structure over Σg }​

Integer over 0     k​

Different k-number points over Σg     z1, ..., zk     (Gathered points are expressed by . )​

Diff (Σg, ) = {ψ : Σg → Σg | ψ() = , ψ is differential homeomorphism. }​

Quotient space      M g,k = J (Σg) / Diff (Σg, ) ​

Riemann surface of genus g with k marked points     (Σ, ) ​

(Σ, ) M g,k ​

Automorphism group     Aut (Σ, ) = { ψ : Σ → Σ | ψ is biregular.ψ() = }​

Compactification of  M g,k      CM g,k ​

​

§2​

１​

Symplectic manifold    M​

Differential 2-form over M     wM​

Well-formed almost complex structure with wM     JM​

βH2(M; Z)​

 (is pseudoholomorphic.)​

(Σ,, φ) ​

2​

[(Σ,, φ)] ​

Evaluation map     ev[(Σ,, φ)]=​

3​

Forgetting map    fg : ​

​

Enlarged Forgetting map    fg : ​

3​

(Definition)​

(Gromov-Witten invariant)​

(ev, fg)*​

Gromov-Witten invariant is expressed by GWg,k(M, wM; β)​

4​

(Theorem)​

Sumset    is compact.​

5​

(Associative law)​

(Theorem)​

​

​

[Image]​

Meaning minimum of word is identified with .​

Word is identified with ​

Commutativity of meaning minimums in word guaranteed by theorem of associative law. ​

​

​

[References]​

Homology on Language / Symmetry Flow Language / Tokyo May 15, 2007​

From Cell to Manifold / Cell Theory / Tokyo June 2, 2007​

Deep Fissure between Word and Sentence / Algebraic Linguistics / Linguistic Result / Tokyo 

September 10, 2007​

Reversion Analysis Theory / Tokyo June 8, 2008​

Reversion Analysis Theory 2 / Tokyo June 12, 2008​

Holomorphic Meaning Theory 10th for KARCEVSKIJ Sergej / Tokyo June 15, 2008​

Holomorphic Meaning Theory 11th for KARCEVSKIJ Sergej / Tokyo June 19, 2008​

Word and Meaning minimum / Energy Distance Theory / Conjecture 1 / Tokyo September 

22, 2008​

Geometry of Word / Energy Distance Theory /  Conjecture2 / Tokyo November 23, 2008​

Amplitude of meaning minimum / Complex Manifold Deformation Theory / Conjecture A4 / 

Tokyo December 17, 2008​

​

​

​

​

Tokyo June 16, 2009​

Sekinan Research Field of Language​

​

Read more: https://srfl-paper.webnode.com/news/floer-homology-language-note-6-homology-structure-of-word/