Floer Homology Language ​ Note 8 Discreteness of Language​ ​

Floer Homology Language 

TANAKA Akio 

     

​

Note 8 

Discreteness of Language​

​

​

Flux Conjecture​

(Lalonde-McDuff-Polterovich 1998)​

Image of Flux homomorphism is discrete at H1(M; R).​

​

Lemma1​

Next two are equivalent.​

(i) Flux conjecture is correct.​

(ii) All the complete symplectic homeomorphism is C1 topological closed at symplectic 

transformation group.​

​

Lemma 2​

Next two are equivalent.​

(1) Flux conjecture is correct.​

(ii) Diagonal set MM×M is stable by the next definition.​

​

Definition​

L is stable at the next condition.​

(i) There exist differential 1 form u1, u2 over L that is sufficiently small.​

(ii) When sup|u1|, sup|u2| is Lu1Lu2 for u1, u2 ,there existsf that satisfies u1 - u2  = df .​

​

Explanation​

0 <For conjecture and lemmas>​

​

  is de Rham cohomology class.​

​

Symplectic manifold     (M, w)​

Group's connected component of complete homeomorphism       Ham (M, w)​

Flux isomorphism     Flux: π1(Ham(M, w) )→ R​

Road of Ham (M, w)     γ(t)​

δγ / δt = Xu(t) that is defined bu closed differential form Utover M​

​

Explanation​

1​

Symplectic manifold     M​

n-dimensional submanifold      L M​

L that satisfies next condition is called special Lagrangian submanifold.​

Ω's restriction to L is L's volume. ​

​

2​

M's special Lagrangian submanifold     L​

Flat complex line bundle     L​

LAGsp(M)     (L, L)​

​

3​

Complex manifold      M†​

p M†​

Sheaf over M†     fp​

fp (U) = C ( pU)​

fp (U) = 0 ( p U)​

​

4​

Special Lagrangian fiber bundle     π : M → N​

Complementary dimension 2's submanifold     S(N) N​

π-1 (p) = LP​

Pair     (Lp, Lp)​

pN-S(N)​

Lp      Complex flat line bundle​

All the pair (Lp, Lp) s is M0† .​

​

5​

(Geometric mirror symmetry conjecture Strominger-Yau-Zaslow 1996)​

Mirror of M is diffeomorphic with compactification of M0† .​

​

6 ​

Pairs of Lagrangian submanifold of M and flat U(1) over the submanifold     (L1, L1), (L2, L2)​

(L1, L1)  (L2, L2) means the next.​

There exists complete symplectic homeomorphism that is ψ(L2 ) = L2​

and​

ψ*L2 is isomorphic with L1.​

​

​

​

Impression​

Discreteness of language is possible by Flux conjecture 1998.​

​

​

​

[References]​

Quantization of Language / Floer Homology Language / Note 7 / June 24, 2009​

For WITTGENSTEIN Ludwig / Position of Language / Tokyo December 10, 2005​

​

​

​

To be continued​

Tokyo July 19, 2009​

Sekinan Research Field of Language